Conjunto dos Números Reais: Intervalos na Reta Real

O intervalo na reta real R ou subconjuntos de R satisfazem à seguinte propriedade: se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

A propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R. Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a: [a,b] = {x ε R a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a: [a,b[ = [a,b) = {x ε R a ≤ x <>

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a: (a,b] = ]a,b] = {x ε R a <>

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a: ]a,b[ = (a,b) = {x ε R a <>

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R x <>

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito: [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito: ]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito: ]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente.

Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R 1 < b =" {x">