Intervalos na Reta Real

O intervalo na reta real R ou subconjuntos de R satisfazem à seguinte propriedade: se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

A propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R. Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a


Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a: [a,b] = {x ε R a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a: [a,b[ = [a,b) = {x ε R a ≤ x <>

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a: (a,b] = ]a,b] = {x ε R a <>

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a: ]a,b[ = (a,b) = {x ε R a <>

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R x <>

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R x ≤ b}


g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito: [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito: ]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito: ]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R


j) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.



E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.



Sejam A = [-1,6] = {x ε R -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.



Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente.

Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R 1 < b =" {x">

Referência Bibliografica: http://www.blogviche.com.br/2007/04/10/intervalos-na-reta-real/

Curiosidade: Alfabetização Matemática

Quando falamos em alfabetização, pensamos na aprendizagem da língua materna. Conhecendo as letras e as relações possíveis entre elas, através de sua sonoridade, a leitura e a escrita vão se constituindo. Nesta apropriação, nós nos tornamos leitores e escritores.

A alfabetização, no entanto não pode ocupar tão somente o campo das letras. É preciso alfabetizar numericamente as pessoas. Desde pequenas, as crianças mergulham no mundo dos números, muitas vezes sem compreendê-lo. É comum a repetição de seqüências numéricas sem o estabelecimento de relações entre quantidades e símbolos. Quantos de nós, adultos, não temos controle sobre situações do dia-a-dia como juros de cheque especial, compras a prazo com taxas, entre outras, pela falta de habilidade com os números? Nossa alfabetização numérica passa pela alfabetização financeira num mundo capitalista e globalizado.

A aprendizagem matemática, é, portanto, um elemento importante na construção da cidadania. Cabe à escola a função de alfabetizar numericamente as crianças. O que seria esta alfabetização? Inseridos num mundo cercado de números, o que o professor pode fazer pela criança, para que esta possa agir conscientemente sobre ele?

A construção da idéia de número abordada por Kamii (1995, p. 13) mostra que “o número é construído por cada criança a partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os objetos”. Neste sentido, a idéia de número é uma construção interna do sujeito. Esta construção acontece nas inúmeras relações que ele estabelece na sua leitura de mundo. Quanto mais diversificadas as experiências, melhores as possibilidades de compreensão desta idéia. Como as relações estabelecidas são próprias de cada sujeito, porque surgem a partir de suas experiências pregressas e as vividas no presente, podemos dizer que número é uma construção mental, portanto interna e individual do sujeito diante de uma dada realidade presente.

Reta Real

Os números à direita do zero são denominados números positivos e os números à esqueda do zero são denominados números negativos. Entre dois números quaisquer da reta dos reais existem infinitos números.

O zero foi criado para ampliar os conjuntos numéricos, possibilitando dessa forma realizar operações como -5 + 5 = 0; 15 - 15 = 0; 0,5 - 0,5 = 0 etc.

Referência Bibliográfica: http://matematicadoensinofundamentalemedio.com/Conjunumericos.htm

História dos Números Reais: Como e por que foi criado

- A origem histórica dos números racionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica. Estes números são construídos a partir da necessidade de medir e de relacionar medidas.
O conjunto dos números racionais constitui um sistema de numeração, no qual as operações de adição e multiplicação, assim como suas inversas, subtração e divisão, estão bem definidas e possuem as mais importantes propriedades. No entanto, a extensão deste sistema é necessária, com o objetivo de obter um quadro claro da relação entre números e pontos de uma reta, desenvolvendo a noção de "completude", propriedade que o sistema dos racionais não tem. Construir a reta numerada completa implica construir um novo sistema numérico que inclui os racionais, como subsistema. O sistema inclui todas as razões entre quantidades geométricas - todos os valores que resultam de medidas - e muitos desses valores não são números racionais. À união dos números racionais com os irracionais, denominamos Conjunto dos Números Reais.

O que são os números reais?

O conjunto dos números reais surgiu para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos conjuntos dos Números Naturais e Números Inteiros.

Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

- Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
- Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
- Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.


O processo de medição de segmentos geométricos levou à noção de número real. Consequência disto, pode-se considerar o comprimento de um segmento de reta como protótipo do número real. Este processo de medição é tão significativo que o conjunto dos números reais é também conhecido como a reta real ou, simplesmente, a reta.


Referência bibliografica: http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-reais.htm

Matemáticos

Arquimedes
Período: aproximadamente 287 - 212 a.C.

Álgebra: equação cúbica; sistema de numeração; equações lineares;
Física: hidrostática; bomba de água em parafuso;
Geometria Espacial: áreas de uma esfera; de uma calota esférica; área de uma superfície esférica; volume da esfera;
Geometria Plana: método clássico para cálculo de pi; a quadratura da parábola; aspiral de Arquimedes; fórmula de Heron;



Arthur Cayley
Período: 1821 a 1895 d.C.

Álgebra: matrizes; teoria dos grupos; invariantes



Augustus De Morgan
Período: 1806 a 1871 d.C.

Álgebra: álgebra abstrata
Análise: indução; cálculo; números complexos
Matemática Elementar: lógica



Blaise Pascal
Período: 1623 a 1662

Física: princípio da hidrodinâmica de Pascal
Geometria: geometria projetiva; seções cônicas; triângulo aritmético; ciclóide
Matemática Aplicada: invenção da máquina de calcular
Probabilidade: Probabilidade



George Boole
Período: 1815 a 1864 d.C.

Álgebra: álgebra Booleana; métodos álgébricos para a solução de equações diferenciais
Matemática Elementar: lógica



George Peacock
Período: 1791 a 1856 d.C.

Álgebra: álgebra simbólica; álgebra abstrata
Análise: cálculo diferencial e integral



Giuseppe Peano
Período: 1858 a 1932 d.C.

Álgebra: sistemas lineares;
Matemática Elementar: lógica matemática; introdução do simbolismo matemático;



J. W. R. Dedekind: a fundamentação dos números reais
Período: 1831 a 1916 d.C.

Álgebra: corpo numérico; inteiros algébricos; ideal; anel; conjunto infinito;
Análise: números reais; números irracionais; continuidade; limite;



Leonardo de Pisa (Fibonacci)
Período: século XIII

Álgebra: numeração indo-arábico; números inteiros e frações com estes; cálculo de raízes quadradas e cúbicas; resolução de equações lineares e quadráticas;
Análise: seqüência de Fibonacci;
Geometria: geometria mensurativa; Teorema de Pitágoras;



Pitágoras de Samos
Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente
Álgebra: números irracionais; proporção dos números inteiros; números primos; compostos; amigos; perfeitos; figurados; pares e ímpares; máximo divisor comum; mímino divisor comum; seção áurea;
Geometria: teorema de Pitágoras; sólidos regulares; pentágono regular; seção áurea;



Tales de Mileto
Período: c. 625 - 546 a.C.

Geometria: teorema de Tales; semelhança de triângulos; ângulos;circunferência; cálculo da altura da pirâmide;



Willian Rowan Hamilton
Período: 1835 d.C.

Álgebra: álgebra abstrata; solução das equações de quinto grau; soluções numéricas de equações diferencias;
Física: refração cônica; ótica; dinâmica; o hodógrafo de uma partícula em movimento;




Referência Bibliografia: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/index_h_bio.html